素因数分解・ルート・互除法の筆算｜中学以降で使う筆算と虫食い算

当サイトは文部科学省の学習指導要領や国立教育政策研究所の調査など公的機関の情報と、教材・サービスの公式サイトの公開情報をもとに編集部が独自に執筆しています。教え方や書き方は学校・教科書によって違うことがあるため、学校で習った方法も大切にしてください。記事内には広告を含む場合があります。

中学以降の筆算は「割り算の筆算」の仲間

『小学校の筆算とは別物』と思っている方も多いですよね。

実は、使う場面と手の動きを並べてみると、どれも割り算の筆算から少し形を変えただけだと分かります。

割り算の筆算の手順に自信がない時は、先に割り算の筆算のやり方｜たてる・かける・ひく・おろすの順番で確かめておくと、この先がずっと読みやすくなります。

素因数分解の筆算のやり方（はしご算）

素因数分解とは、ある数を素数だけのかけ算で表すことです。素数は、1とその数自身でしか割り切れない、2・3・5・7・11・13 のような数です。

この素因数分解を手で行う時に使うのが、割り算の筆算を逆さにしたような形の書き方です。

素因数分解の筆算の名前は？

『あの筆算みたいなもの、なんて名前なの？』と気になる方は多いです。

学校や参考書によって「はしご算」「すだれ算」などと呼ばれることがあります。決まった1つの名前があるわけではないので、授業で使った呼び方で覚えておけば十分です。

1764 を素因数分解してみる

1764 を例に、素因数分解の筆算のやり方を追ってみます。左に割る素数、右に割られる数を書き、商をどんどん下に書いていきます。

左の列と、最後に残った数をかけ合わせると、1764＝2×2×3×3×7×7 です。同じ数をまとめると 2²×3²×7² になります。

かけ算で戻すと、2×2×3×3×7×7＝1764 になるので合っています。

どの素数で割ればいいか分からない時

素因数分解の筆算で、2・3・5・7のどれで割ればいいか迷う人は多いですよね。

そんな時は、割れるかどうかを見分ける目印を使ってみてください。

大きい数はどこまで試せばいい？

1638 のような大きい数では、どこまで素数を試せばいいか不安になります。

1638 は、2で割って 819、3で割って 273、もう一度3で割って 91 になります。91 は 7×13 なので、1638＝2×3×3×7×13 です。

試す素数は、残った数の「だいたいのルート」までで大丈夫です。例えば 91 なら、10×10＝100 なので、10より小さい素数（2・3・5・7）まで試せば、割れるかどうかが分かります。

素因数分解の筆算の練習問題

2進数への変換も同じ形

参考までに、10進数を2進数に変えるのも、はしご算とよく似た筆算です。2で割り続けて、あまりを下から読みます。

あまりを下から読むと 1101 になり、13 は2進数で 1101 です。8＋4＋1＝13 で確かめられます。

ユークリッドの互除法の筆算

ユークリッドの互除法は、2つの数の最大公約数を出す方法です。素因数分解が大変な大きい数でも、割り算をくり返すだけで最大公約数が分かります。

『割り算をくり返すだけで本当に出るの？』と思いますよね。391 と 299 で試してみましょう。

391 と 299 の最大公約数

最後に割った数の 23 が、391 と 299 の最大公約数です。

確かめると、391÷23＝17、299÷23＝13 で、どちらも割り切れます。

ユークリッドの互除法の筆算の書き方

ユークリッドの互除法の筆算は、割り算の筆算を横につなげていく書き方もあります。ただ、慣れないうちは上の表のように1回ずつ式を書くほうが、まちがいが見つけやすいです。

なぜ最大公約数が出るの？

『どうしてこれで最大公約数が出るの？』と気になった方もいるはずです。

ポイントは、391 と 299 の公約数は、299 と あまりの 92 の公約数でもある、ということです。391＝299×1＋92 なので、両方を割り切る数は 92 も割り切ります。

割るたびに数が小さくなっていき、最後に割り切れた時の割る数が、はじめの2つの数の最大公約数になります。

ルートを小数に直す筆算（開平法）

ルートを小数に直す筆算は、開平法と呼ばれます。平方根の求め方を筆算で行う方法です。

電卓がない時に √2 や √3 のおよその値を出すことができます。手順は割り算の筆算と似ていますが、数を2けたずつ区切るのが大きな違いです。

√2 を開平法で求める

2 を小数点から2けたずつ区切って「2.00 00 00」と考えます。左の列で数をつくり、右の列でひいていきます。

√2 は 1.414 と続くことが分かりました。2番目の手順で 25×5＝125 は100をこえるので、4 を選んでいます。

なぜ2けたずつ区切るの？

開平法でいちばん多い疑問が、この「2けたずつ」です。

これは、1けたの数を2乗すると1けたか2けた、2けたの数を2乗すると3けたか4けたになるからです。答えの1けたが、もとの数の2けた分にあたるので、2けたずつ区切ると、答えの各位が1つずつたっていきます。

√70 を小数第2位まで

もう1問、√70 も開平法で求めてみます。「70.00 00」と区切ります。

√70 は 8.36… と続きます。もう1けた進めると 8.366 になるので、小数第2位までの四捨五入なら約 8.37 です。

ルートを小数に直す筆算は、平方根の近似値を出す時に役立ちます。

√1808 を小数第1位まで

けたの多い数でも、やり方は同じです。√1808 を「18 08.00 00」と区切ってみます。

小数第1位までなら、√1808 は約 42.5 です。手順2で 83×3＝249 は208をこえるので、2 を選んでいます。

素因数分解でルートが外せることもある

ルートの中の数を素因数分解すると、筆算をしなくても答えが出る時があります。

前に素因数分解した 1764＝2×2×3×3×7×7 は、同じ数が2つずつそろっています。2つずつ組にして1つずつ取り出すと 2×3×7＝42 なので、√1764＝42 です。42×42＝1764 で確かめられます。

『開平法と素因数分解はつながっているんだ』と気づくと、それぞれの筆算の意味が見えてきますよ。

虫食い算・筆算の穴埋めの解き方

虫食い算は、筆算の一部の数字が□になっていて、そこに入る数を考えるパズルです。筆算の穴埋め問題とも呼ばれます。

『どこから手をつければいいの？』と止まってしまいますよね。コツは、一の位から順に、繰り上がりと繰り下がりを考えながら決めていくことです。

足し算の虫食い算

• 一の位: 7＋□ の一の位が1になるのは □＝4。7＋4＝11 で、十の位へ1繰り上がる
• 十の位: □＋7＋1 の一の位が2になるのは □＝4。4＋7＋1＝12 で、百の位へ1繰り上がる
• 百の位: 3＋2＋1＝6 で合っている

答えは 347＋274＝621 です。

引き算の虫食い算

• 一の位: 3−□ で7にはならないので、繰り下がって 13−□＝7。□＝6
• 十の位: 1減った □−1 から6をひいて8。これも繰り下がって、□−1＋10−6＝8 なので □＝5
• 百の位: 1減った 5−1＝4 から2をひいて2

答えは 553−266＝287 です。287＋266＝553 で確かめられます。

かけ算の虫食い算

虫食い算のかけ算の筆算も、一の位から考えるのは同じです。

• 一の位: 3×4＝12 なので、□＝2。十の位へ1繰り上がる
• 十の位: □×4＋1＝17 になる数を探す。□×4＝16 なので □＝4

答えは 43×4＝172 です。

筆算の穴埋め問題をもっと解きたい時は、筆算プリント・問題の選び方｜答えつき練習問題と進め方も参考にしてみてください。

家で練習を続けるなら

素因数分解も開平法も虫食い算も、土台になっているのは割り算・掛け算の筆算です。中学の内容で止まった時は、小学校の筆算まで戻って確かめると、意外とすっきりすることがあります。

すららは、株式会社すららネットが運営する無学年方式のオンライン教材です。学年にとらわれずに前の内容に戻って学べるので、気になる方は無料体験で画面を見てみてください。

よくある相談：ルートや素因数分解の筆算

ここでは、ネットの相談サイトに寄せられている、ルートや素因数分解の筆算の悩みから、よく見られるものを要約して紹介します。

相談1 ルート3を整数で表すとどうなる？

ルート3を整数で表すとどうなるのか、分かりやすく知りたい、という相談です。

ルート3は整数ではぴったり表せません。1×1＝1、2×2＝4 なので、√3 は1と2の間の数です。

小数に直したい時は、開平法を使います。上の √2 と同じように進めると、√3 は 1.732… と続くことが分かります。

相談2 素因数分解のあの筆算の名前は？

素因数分解の時に使う、割り算の筆算を逆さにしたような書き方の名前を知りたい、という相談です。

前に紹介したとおり、「はしご算」「すだれ算」などと呼ばれることがあります。呼び方は1つに決まっていないので、テストで名前を書く必要がある時は、授業で習った呼び方を使ってみてください。

相談3 開平法はなぜ2けたずつ区切るの？

開平法の筆算で、ルートの中の数を小数点から2けたずつ区切ると答えの各桁がたつけれど、なぜ2けたずつなのか、という相談です。

答えの1けたが、2乗するともとの数の2けた分になるからです。例えば答えが2けたなら、2乗した数は3けたか4けたになります。

そのため、もとの数を2けたずつに区切ると、区切り1つにつき答えが1けたずつ決まっていきます。

よくある質問

まとめ

素因数分解の筆算、ユークリッドの互除法、開平法、虫食い算は、どれも小学校の割り算・掛け算・足し算・引き算の筆算が土台になっています。

手の動きが似ているところを見つけると、新しい筆算もこわくなくなります。筆算の基本からもう一度確かめたい時は、筆算とは？意味・読み方とやり方の基本をやさしく解説を読んでみてください。

あわせて読みたい

割り算の筆算のやり方｜たてる・かける・ひく・おろすの順番

筆算の歴史｜関孝和と和算・海外の筆算と英語の言い方

割り算の筆算プリントの選び方｜答えつき練習問題と進め方